Las congruencias se parecen mucho a las igualdades: podemos sumar, restar y multiplicar de ambos lados.
Pero hay una trampa con la división. Explorá las diferencias acá abajo.
a = bIgualdad
a ≡ b (mod m)Congruencia
➕ Suma — agregar c a ambos lados
Si a = b entonces a + c = b + c
✓ Siempre válido
Si a ≡ b (mod m) entonces a+c ≡ b+c (mod m)
✓ Siempre válido
➖ Resta — restar c a ambos lados
Si a = b entonces a − c = b − c
✓ Siempre válido
Si a ≡ b (mod m) entonces a−c ≡ b−c (mod m)
✓ Siempre válido
✖️ Multiplicación — multiplicar ambos lados por c
Si a = b entonces a · c = b · c
✓ Siempre válido
Si a ≡ b (mod m) entonces a·c ≡ b·c (mod m)
✓ Siempre válido
➗ División — dividir ambos lados por c
Si a = b y c ≠ 0 entonces a/c = b/c
✓ Siempre válido (c ≠ 0)
Si a ≡ b (mod m) ¿entonces a/c ≡ b/c (mod m)?
✗ ¡No siempre! Depende de c y m
Solo si mcd(c, m) = 1 (c y m son coprimos)
!Válido solo en ese caso
Explorá vos mismo
Ingresá dos números congruentes y un módulo, elegí una operación y un valor, y mirá si la congruencia se mantiene.
⚠️ El contraejemplo clásico de la división:
Sabemos que 12 ≡ 6 (mod 6). Si dividimos ambos lados por 2:
¿6 ≡ 3 (mod 6)? → 6 − 3 = 3, y 3 no es múltiplo de 6. ¡Falso!
El problema: mcd(2, 6) = 2 ≠ 1, así que la división no está permitida.
✓ ¿Cuándo sí podemos dividir?
Si mcd(c, m) = 1, entonces c tiene inverso modular y la división es válida.
a ≡ b (mod m) y mcd(c, m) = 1 ⟹ a/c ≡ b/c (mod m)
Ejemplo: 35 ≡ 15 (mod 4). Queremos dividir por 5.
mcd(5, 4) = 1 ✓ → división permitida.
35 ÷ 5 = 7 y 15 ÷ 5 = 3 → 7 ≡ 3 (mod 4) ✓
Verificación: 7 − 3 = 4, que es múltiplo de 4. ¡La congruencia se mantiene!