Un problema de estrategia que se resuelve con congruencias módulo 11 y 13.
La clave está en mirar los restos de las potencias de 10.
El problema
Andrés y Blas juegan por turnos (empieza Andrés) colocando dígitos del
1 al 9 en seis espacios. Se puede repetir. El orden de las cifras no importa:
en su turno, cada uno elige en qué casilla vacía poner su dígito. Si el número de seis
cifras que se forma es múltiplo de 143, gana Blas; si no, gana Andrés.
¿Quién tiene la estrategia ganadora y cuál es?
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Paso 1 · Descomponer
Los restos de las potencias de 10
Como 143 = 11 × 13, un número es múltiplo de 143 exactamente cuando es
múltiplo de 11y de 13 a la vez. Escribimos el número como
a₅a₄a₃a₂a₁a₀ (con a₅ la cifra de mayor valor) y buscamos
el resto de cada potencia de 10:
La fila clave es 10³ = 1000: deja resto −1 tanto módulo 11 como
módulo 13. No es casualidad. Recordá que
1001 = 7 · 11 · 13, así que 1001 es múltiplo de 143 y
Usando que 1000 ≡ −1, cada potencia alta queda ligada a una baja:
10⁵ ≡ −10², 10⁴ ≡ −10¹,
10³ ≡ −10⁰. Es decir, cada cifra tiene una
pareja con peso opuesto módulo 143:
a₅10⁵
↔ opuestos ↔
a₂10²
a₄10⁴
↔ opuestos ↔
a₁10¹
a₃10³
↔ opuestos ↔
a₀10⁰
Consecuencia: si las dos cifras de una pareja son iguales, esa pareja aporta
0 módulo 143. Y si se igualan las tres parejas, las dos mitades
(ABC = a₅a₄a₃ y
DEF = a₂a₁a₀) quedan idénticas: el
número es de la forma ABCABC = ABC·1001,
múltiplo de 143. Probalo:
a₅ a₄ a₃ · mitad ABC
a₂ a₁ a₀ · mitad DEF
Paso 3 · Jugar
¿Quién gana? Jugá contra la compu
Elegí un rol. La computadora juega perfecto: si tenés una estrategia
ganadora y la seguís, ganás; si te equivocás, te castiga. En tu turno, tocá una
casilla vacía y después un dígito.
Empieza Andrés. Cada uno, en su turno, elige una casilla vacía y coloca un dígito del 1 al 9.
La solución
¿Quién tiene la estrategia ganadora?
Gana Blas.
Ya vimos que cada cifra tiene una pareja con peso opuesto módulo 143:
a₅ ↔ a₂ · a₄ ↔ a₁ · a₃ ↔ a₀Estrategia de Blas (que juega segundo): responde a cada jugada de Andrés
poniendo el mismo dígito en la casilla pareja.
Si Andrés pone a₂, Blas pone a₅ (o al revés).
Si Andrés pone a₄, Blas pone a₁ (o al revés).
Si Andrés pone a₀, Blas pone a₃ (o al revés).
Siempre puede hacerlo: Andrés siempre abre una pareja nueva (tras cada respuesta
de Blas las parejas quedan completas o vacías) y Blas la cierra con el mismo dígito, así
cada pareja aporta 0 módulo 143.
Al final las dos mitades quedan idénticas: el número es de la forma
ABCABC, y
ABCABC = ABC · 1001 = ABC · 7 · 11 · 13
siempre es múltiplo de 143. Blas gana pase lo que pase. 🎉
Detalle importante: esto funciona justamente porque el orden de las cifras no importa
(cada uno elige la casilla). Si el número se llenara en orden fijo, el análisis cambia y la
ventaja pasa a Andrés.