Tenés un tanque enorme de agua, un vaso de 99 ml y otro de 105 ml.
Podés llenarlos desde el tanque y verter su contenido en una botella sin marcas.
¿Podés obtener exactamente la cantidad deseada?
0 ml
Vaso 99 ml
0 ml
Vaso 105 ml
0 ml
Botella (sin límite)
Listo. Intentá llegar a 1000 ml en la botella...
Pista: Cualquier cantidad que puedas obtener combinando estos dos vasos se puede escribir como
99 · s + 105 · t para algún par de enteros s y t. Pensá: ¿qué tienen en común el 99 y el 105?
¿Hay algún número que divida a ambos? Y si ese número divide a 99 y a 105... ¿también divide a 1000?
Respuesta: No es posible.
Cualquier cantidad obtenible con estos vasos es de la forma:
99 · s + 105 · t = k (con s, t ∈ ℤ)
El mcd(99, 105) = 3, y 3 divide a toda combinación lineal de 99 y 105.
Como 1000 no es múltiplo de 3 (1000 = 3 × 333 + 1), es imposible obtenerlo.
0 ml
Vaso 99 ml
0 ml
Vaso 105 ml
0 ml
Botella (sin límite)
Listo. Intentá llegar a 1500 ml en la botella...
Pista: Al igual que en el ítem anterior, pensá en qué números puede expresarse una combinación
de 99 y 105. ¿Es 1500 divisible por el mcd(99, 105)? Eso cambia todo...
Respuesta: Sí es posible.
mcd(99, 105) = 3, y 1500 es múltiplo de 3 (1500 = 3 × 500), así que la solución existe.
¿Cómo hacerlo concretamente?
Observá que: 105 − 99 = 6
Si llenamos el vaso de 105 ml y le sacamos 99 ml a la botella, obtenemos 6 ml netos por cada vuelta.
Repitiendo esto 250 veces obtenemos:
250 × (105 − 99) = 250 × 6 = 1500 ml ✓
Es decir: llenamos el vaso de 105 ml 250 veces (aportamos 26250 ml) y sacamos el vaso de 99 ml 250 veces (retiramos 24750 ml): 26250 − 24750 = 1500 ml ✓
En notación de Bézout: 105 · 250 + 99 · (−250) = 1500, con s = 250 y t = −250.